ACTIVIDAD 2

CLASES DE FUNCIONES

 

Las funciones reales se pueden clasificar de acuerdo a su estructura en tres grupos:

 

FUNCIONES POLINOMICAS

 

·         FUNCIÓN LINEAL

·         FUNCIÓN CONSTANTE
·         FUNCIÓN CUADRÁTICA
·         FUNCIÓN POLINOMICA

 

FUNCIONES ESPECIALES

 

·         FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

·         FUNCIÓN RAIZ CUADRADA
·         FUNCIÓN RACIONAL
 

FUNCIONES TRASCENDENTALES

 

·         FUNCIÓN EXPONENCIAL

·         FUNCIÓN LOGARÍTMICA
·         FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Las funciones trigonométricas surgen de estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos lados cualesquiera dependen del valor de los ángulos del triángulo.

 Se distinguen seis tipos de funciones trigonométricas, Las cuales cada una de ellas tiene su dominio, rango, periodo y su gráfica es distinta, como son:

  

f(x) = sen x

 f(x) = cos x

f(x) = tan x

f(x) = cot x

f(x) = sec x

f(x) = cscx

 

B.

Investigue sobre las gráficas y sus transformaciones (traslación vertical, traslación horizontal, expansiones y contracciones), de un ejemplo de cada una con gráfica.

 

Traslación horizontal

 

Si a la gráfica de la función y = f(x) la trasladamos horizontalmente k unidades, (con k > 0 la traslación ocurre hacia la izquierda y con k < 0 hacia la derecha) obtenemos la gráfica de la función y = f(x + k).

 

Con esta transformación podemos graficar fácilmente cualquier función cuadrática. En caso de que encuentres una función de la forma: y = a x2 + b x + c, basta completar cuadrados1 y convertir la función a la forma: y = (x − α) 2 + β.

El número α causa una traslación horizontal; el número β causa una traslación vertical.

 

El peor de los casos tendremos una función de la forma: y = k (x − α)2 + β, con k < 0, es decir un número negativo, lo que indica una dilatación junto con una reflexión respecto al eje x.

 

Como ves, el álgebra elemental (productos notables y factorización) se requiere para realizar el procedimiento.

El siguiente ejemplo muestra uno de esos casos.

Grafica la función: y = x2 − 4 x + 1.

 

• Método 1. Completando cuadrados

• Primero debes observar que es una función cuadrática, y que se trata de una parábola.

• Vamos a completar cuadrados.

 

y = x2 − 4 x + 1

   = (x2 − 4 x + 1) + (4 − 4)

   = (x2 − 4 x + 4) + (1 − 4)

   = (x − 2)2 – 3

 

En esta forma, es mucho más fácil y rápido hacer la gráfica de la función.

 

• Para completar cuadrados más fácilmente, calcula la mitad del coeficiente del término lineal, en este caso, la mitad de −4 es −2, y usa ese valor para completar el binomio.

• He aquí un segundo método de llegar al mismo resultado.

  

• Método 2. Fórmula general

• Encontramos las raíces de la función, es decir, los puntos donde la gráfica corta al eje x, con la ayuda de la fórmula general:

 

x =−b ±√b2 − 4 ac

2 a

 En este caso: a = 1, b = −4 y c = 1. Sustituimos los valores en la fórmula general y resolvemos para encontrar los valores de x:

 

x =4 ±p 16 − 4 (1)(1)

2 (1)

=4 ±√12

2

= 4 ± 2√ 3

2

= 2 ±√3

• Ahora ubicamos los puntos:

 

x1 = 2 + √3 y x2 = 2 − √3 en el eje x y a partir de estos graficamos la parábola. Sabemos que la parábola abre hacia arriba.

 

En caso de que quieras mayor precisión, podemos usar la información del método 1, el vértice se encuentra en el punto (2, −3).

Método 3. Geométricamente

Usando la interpretación geométrica de las raíces de la ecuación cuadrática, podemos fácilmente  encontrar las coordenadas del vértice:

 

xv = - b =_ - 4 = 2

2 a    2(1)

 

Y la ordenada del vértice es: y(2) = (2)2 − 4 (2) + 1 = −3. Entonces, el vértice es: (2, −3)

Sabemos que la parábola abre hacia arriba porque el coeficiente del término cuadrático es positivo, y ya podemos hacer un bosquejo de la gráfica de la función

 

Traslaciones verticales

 

·         Funciones que se forman sumando o restando un valor real positivo c a otra función pertenecen a una misma “familia”

h(x)= f(x) + c

h(x)= f(x) – c

 

·         Cada h(x) es un desplazamiento vertical de c unidades de la gráfica de y = f(x)

 

He aquí la gráfica de f(x) = x2, junto a la gráfica de…

 

g(x) = x2 + 4 y

h(x) = x2 – 4 .

 

En notación de funciones  describimos las transformaciones de f(x):

 

g(x) = f(x) + 4

h(x) = f(x) – 4

Expansiones y Compresiones

Las expansiones y compresiones son transformaciones que cambian el largo o el ancho de la gráfica de una función. La forma general de la gráfica de una función se expande o comprime verticalmente u horizontalmente. Las expansiones y compresiones son consideradas transformaciones no rígidas.  Ahora veremos cómo se realizan estas.

 

Expansiones y compresiones verticales

 

Para graficar y=af(x)

 

Si a>1, la gráfica de y=f(x) se expande verticalmente por un factor a. (Se alarga)

Si 0<a<1, la gráfica de y=f(x) se comprime verticalmente por un factor a. (Se encoge)

 

C.

Tome una función lineal y una cuadrática, trace sus gráficas, luego afecte la variable independiente con un signo Negativo, realice el mismo proceso e indique lo que le ocurre a la gráfica.

 

Ejemplo:

f (x) = 2x + 1

f (x) = -2x + 1

 

Función Lineal

y = 3x+2

 

x	2	1	0	-1	-2	-3
y	8	5	2	-1	-4	-7

 

y = -3x+2

x	2	1	0	-1	-2
y	-4	-1	2	5	8

   Función Cuadrática

 

y = 3x²

 

x	2	1	0	-1	-2
y	12	3	0	3	12

 

y = -3x²

 

x	2	1	0	-1	-2
y	-12	-3	0	-3	-12

 

D.
 

Analice los diferentes tipos de funciones e indique bajo que contexto de la cotidianidad es posible utilizarla en modelado de funciones

 

Ahora haremos uso de ejemplos concretos para mostrar la manera en que podemos utilizar a las funciones para modelar matemáticamente situaciones y problemas reales.

 

Para llevar a cabo la actividad de modelar con funciones es necesario que se consideren las preguntas siguientes: ¿qué es lo que se pide en el problema?, así como ¿qué datos se dan en el problema?

En casi todo fenómeno físico se observa que una cantidad depende de otra, por ejemplo, la estatura depende de la edad, la temperatura depende de la fecha, el costo de enviar por correo un paquete depende de su peso  Se usa el término función para describir esta dependencia de una cantidad sobre otra. Es decir, se expresa lo siguiente:

 

La altura es una función de la edad.

La temperatura es una función de la fecha.

El costo de enviar por correo un paquete es una función del peso.

 

E.

 

Tome un fenómeno, proceso o caso de la vida real y llévelo a una función Matemática, tenga en cuenta el proceso de modelado y llévelo a feliz término de mostrando que funcionalidad.

La función lineal es la más simple dentro de las formas que puede adoptar una relación entre variables económicas, pero desempeñan un importante papel en la formulación de los problemas económicos.

Una función lineal tiene la forma general

 

Donde a y b son números reales, el coeficiente a es la pendiente de la recta que representa a la función y siempre es distinta de cero, el término independiente b es la ordenada al origen, que gráficamente representa la intersección de la recta con el eje de las ordenadas en el punto de coordenadas (0,b).

 La variable independiente es x, a la cual le asignamos valores para obtener y estas funciones se caracterizan porque un cambio unitario en la variable independiente (x), provoca un cambio proporcional en la variable dependiente (y). La tasa de cambio está representada por la constante a.

 

Ejemplo:

Analicemos la relación funcional que existe entre la venta domiciliaria de teléfonos celulares, y el sueldo del vendedor: (función ingreso)

 

Donde "y" es el sueldo del vendedor, y "x" es la cantidad de teléfonos vendidos.

 Estamos frente a una función lineal, cuya representación gráfica es:

 

Podemos observar:

 

1.         Es función creciente

2.         Al aumentar el número de teléfonos vendidos, aumenta el sueldo del vendedor. 

3.         D (f) = R0+

I (f) = [50,∞)