CLASES DE FUNCIONES
Las funciones reales
se pueden clasificar de acuerdo a su estructura en tres grupos:
FUNCIONES
POLINOMICAS
·
FUNCIÓN LINEAL
· FUNCIÓN CONSTANTE
· FUNCIÓN CUADRÁTICA
· FUNCIÓN POLINOMICA
FUNCIONES ESPECIALES
·
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
·
FUNCIÓN RAIZ CUADRADA
· FUNCIÓN RACIONAL
FUNCIONES TRASCENDENTALES
·
FUNCIÓN EXPONENCIAL
·
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
·
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Las funciones
trigonométricas surgen de estudiar el triángulo rectángulo y observar que las
razones (cocientes) entre las longitudes de dos lados cualesquiera dependen del
valor de los ángulos del triángulo.
Se distinguen seis
tipos de funciones trigonométricas, Las cuales cada una de ellas tiene su
dominio, rango, periodo y su gráfica es distinta, como son:
f(x) = sen x
f(x) = cos x
f(x) = tan x
f(x) = cot x
f(x) = sec x
f(x) = cscx
B.
Investigue sobre las gráficas y sus transformaciones (traslación
vertical, traslación horizontal, expansiones y contracciones), de un ejemplo de
cada una con gráfica.
Traslación horizontal
Si a la gráfica de
la función y = f(x) la trasladamos horizontalmente k unidades, (con k > 0 la
traslación ocurre hacia la izquierda y con k < 0 hacia la derecha) obtenemos
la gráfica de la función y = f(x + k).
Con esta
transformación podemos graficar fácilmente cualquier función cuadrática. En
caso de que encuentres una función de la forma: y = a x2 + b x + c, basta
completar cuadrados1 y convertir la función a la forma: y = (x − α) 2 + β.
El número α causa
una traslación horizontal; el número β causa una traslación vertical.
El peor de los casos
tendremos una función de la forma: y = k (x − α)2 + β, con k < 0, es decir
un número negativo, lo que indica una dilatación junto con una reflexión
respecto al eje x.
Como ves, el álgebra
elemental (productos notables y factorización) se requiere para realizar el
procedimiento.
El siguiente ejemplo
muestra uno de esos casos.
Grafica la función: y = x2 − 4 x + 1.
• Método 1. Completando cuadrados
• Primero debes observar
que es una función cuadrática, y que se trata de una parábola.
• Vamos a completar
cuadrados.
y = x2 − 4 x + 1
= (x2 − 4 x + 1) + (4 − 4)
= (x2 − 4 x + 4) + (1 − 4)
= (x − 2)2 – 3
En esta forma, es
mucho más fácil y rápido hacer la gráfica de la función.
• Para completar
cuadrados más fácilmente, calcula la mitad del coeficiente del término lineal,
en este caso, la mitad de −4 es −2, y usa ese valor para completar el binomio.
• He aquí un segundo
método de llegar al mismo resultado.
• Método 2. Fórmula general
• Encontramos las
raíces de la función, es decir, los puntos donde la gráfica corta al eje x, con
la ayuda de la fórmula general:
x =−b ±√b2 − 4 ac
2 a
En este caso: a = 1,
b = −4 y c = 1. Sustituimos los valores en la fórmula general y resolvemos para
encontrar los valores de x:
x =4 ±p 16 − 4
(1)(1)
2 (1)
=4 ±√12
2
= 4 ± 2√ 3
2
= 2 ±√3
• Ahora ubicamos los
puntos:
x1 = 2 + √3 y x2 = 2
− √3 en el eje x y a partir de estos graficamos la parábola. Sabemos que la
parábola abre hacia arriba.
En caso de que
quieras mayor precisión, podemos usar la información del método 1, el vértice
se encuentra en el punto (2, −3).
Método 3. Geométricamente
Usando la
interpretación geométrica de las raíces de la ecuación cuadrática, podemos
fácilmente encontrar las coordenadas del
vértice:
xv = - b =_ - 4 = 2
2 a 2(1)
Y la ordenada del
vértice es: y(2) = (2)2 − 4 (2) + 1 = −3. Entonces, el vértice es: (2, −3)
Sabemos que la
parábola abre hacia arriba porque el coeficiente del término cuadrático es
positivo, y ya podemos hacer un bosquejo de la gráfica de la función
Traslaciones verticales
· Funciones
que se forman sumando o restando un valor real positivo c a otra función
pertenecen a una misma “familia”
h(x)= f(x) + c
h(x)= f(x) – c
· Cada
h(x) es un desplazamiento vertical de c unidades de la gráfica de y = f(x)
He aquí la gráfica
de f(x) = x2, junto a la gráfica de…
g(x) = x2 + 4 y
h(x) = x2 – 4 .
En notación de
funciones describimos las
transformaciones de f(x):
g(x) = f(x) + 4
h(x) = f(x) – 4
Expansiones y
Compresiones
Las expansiones y compresiones son transformaciones
que cambian el largo o el ancho de la gráfica de una función. La forma general
de la gráfica de una función se expande o comprime verticalmente u
horizontalmente. Las expansiones y compresiones son consideradas
transformaciones no rígidas. Ahora
veremos cómo se realizan estas.
Para graficar y=af(x)
Si a>1, la gráfica de y=f(x) se expande verticalmente por un factor a. (Se
alarga)
Si 0<a<1, la
gráfica de y=f(x) se comprime verticalmente por un factor a. (Se encoge)
C.
Tome una función lineal y una cuadrática, trace sus gráficas, luego
afecte la variable independiente con un signo Negativo, realice el mismo
proceso e indique lo que le ocurre a la gráfica.
Ejemplo:
f (x) = 2x + 1
f (x) = -2x + 1
Función Lineal
y = 3x+2
|
x
|
2
|
1
|
0
|
-1
|
-2
|
-3
|
|
y
|
8
|
5
|
2
|
-1
|
-4
|
-7
|
y = -3x+2
|
x
|
2
|
1
|
0
|
-1
|
-2
|
|
y
|
-4
|
-1
|
2
|
5
|
8
|
Función Cuadrática
y = 3x2
|
x
|
2
|
1
|
0
|
-1
|
-2
|
|
y
|
12
|
3
|
0
|
3
|
12
|
y = -3x2
|
x
|
2
|
1
|
0
|
-1
|
-2
|
|
y
|
-12
|
-3
|
0
|
-3
|
-12
|
D.
Analice los diferentes tipos de funciones e indique bajo que
contexto de la cotidianidad es posible utilizarla en modelado de funciones
Ahora haremos uso de
ejemplos concretos para mostrar la manera en que podemos utilizar a las
funciones para modelar matemáticamente situaciones y problemas reales.
Para llevar a cabo
la actividad de modelar con funciones es necesario que se consideren las
preguntas siguientes: ¿qué es lo que se pide en el problema?, así como ¿qué
datos se dan en el problema?
En casi todo
fenómeno físico se observa que una cantidad depende de otra, por ejemplo, la
estatura depende de la edad, la temperatura depende de la fecha, el costo de
enviar por correo un paquete depende de su peso
Se usa el término función para describir esta dependencia de una
cantidad sobre otra. Es decir, se expresa lo siguiente:
La altura es una
función de la edad.
La temperatura es
una función de la fecha.
El costo de enviar
por correo un paquete es una función del peso.
E.
Tome un fenómeno, proceso o caso de la vida real y llévelo a una
función Matemática, tenga en cuenta el proceso de modelado y llévelo a feliz
término de mostrando que funcionalidad.
La función lineal es la más simple dentro de las formas que puede
adoptar una relación entre variables económicas, pero desempeñan un importante
papel en la formulación de los problemas económicos.
Una función lineal tiene la forma general
Donde a y b son números reales, el coeficiente a es la pendiente de
la recta que representa a la función y siempre es distinta de cero, el término
independiente b es la ordenada al origen, que gráficamente representa la
intersección de la recta con el eje de las ordenadas en el punto de coordenadas
(0,b).
La variable
independiente es x, a la cual le asignamos valores para obtener y estas
funciones se caracterizan porque un cambio unitario en la variable
independiente (x), provoca un cambio proporcional en la variable dependiente
(y). La tasa de cambio está representada por la constante a.
Ejemplo:
Analicemos la relación funcional que existe entre la venta
domiciliaria de teléfonos celulares, y el sueldo del vendedor: (función
ingreso)
Donde "y" es el sueldo del vendedor, y "x" es
la cantidad de teléfonos vendidos.
Estamos frente a una
función lineal, cuya representación gráfica es:
Podemos observar:
1. Es función
creciente
2. Al aumentar el
número de teléfonos vendidos, aumenta el sueldo del vendedor.
3. D (f) = R0+
I (f) = [50,∞)
